CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Y PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES.

CLASIFICACION DE LOS NUMEROS

Números Naturales N

Los primeros números se usaron para contar cosas, son los números naturales (se representan por N). La cantidad de números naturales es infinita.

Ν = {1, 2, 3, ....}

Números Enteros Z

El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama conjunto de números enteros. Ζ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}

Números reales R

Se representan con la letra R

Es el conjunto formado por los números racionales Q, y los irracionales I.

 

 

Racional Q

Todo número que se pueda poner en forma de fracción se dice que es un número racional.

Un numero racional es una fracción y todos sus equivalentes

Se representan por la letra Q

Por ejemplo, si cortamos una tarta en 4 trozos iguales y nos tomamos tres trozos de la tarta nos hemos comido 3/4 de la tarta

Son números racionales 1/2, 3/4, 11/5, 2535/3, ...

Se pueden clasificar en dos grupos:

-Decimales Limitados: son los que en su representación decimal tienen un número fijo de números. Por ejemplo: 1/4 = 0,25

-Decimales Ilimitados: son los que en su representación decimal tienen un número ilimitado de números.

-Periódicos puros: Un número, o grupo de números, se repite ilimitadamente, desde el primer decimal. (por ejemplo: 3,838383...)

-Periódicos mixtos: un número o grupo de números se repite ilimitadamente a partir del segundo o posterior decimal (por ejemplo 3,27838383...).

-Irracional I (si no se puede representar mediante una fracción). Son los decimales ilimitados no periódicos Ejemplos de números reales irracionales, la raíz cuadrada de 2, 3, 5.

Se representan mediante la letra I.

-Irracionales Algebraicos (los que se pueden obtener como solución de una ecuación algebraica)

-Trascendentes (los que no se obtienen como solución de una ecuación algebraica). Por ejemplo 2 se puede obtener como solución de la ecuación 2x = 4 y raíz cuadrada de 2 se pueden obtener de la ecuación x² = 2.

-Numero e , Número p (relación entre longitud de circunferencia u su diámetro) nunca son solución de ecuaciones algebraica. 

Números Complejos C

Un número complejo es una expresión de la forma z=a+bi. A 'b' se le llama parte imaginaria y 'a' recibe el nombre de parte real. La letra i se llama unidad imaginaria y verifica que i2=-1. También puede definirse como el par ordenado (a,b).

Se representan con la letra C

Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar como puntos de una recta (la recta de los números reales). Los números complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los números complejos). En ese plano podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos del plano.

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero a se denomina la parte real y al segundo b la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (a,b), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de a+bi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno.

La clase Complejo constará de dos miembros dato, la parte real real, y la parte imaginaria

C={(a,b)=a+bi, a,b R}.

Propiedades de los números reales
Propiedad:   Conmutativa

Operación:   Suma y Resta

Definición:   a+b = b+a

Que dice:
El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

Ejemplo:

2+8 = 8+2                   5(-3) = ( -3)5

Propiedad:   Asociativa

Operación:   Suma y Multiplicación

Definición:   a+(b+c)=(a+b)+c------ a(bc) = (ab)c

Que dice:
Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

Ejemplo:

7+(6+1)=(7+6)+1                     -2(4x7)= (-2x4)7

Propiedad:   Identidad

Operación:   Suma y Multiplicación

Definición:   a + 0 = a------ a x 1= a
Que dice:                                                                                             Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

Ejemplo:

-11 + 0 = -11                           17 x 1 = 17

Propiedad:   Inversos

Operación:   Suma y Multiplicación

Definición:   a + ( -a) = 0------(a)1/a=1

Que dice:
La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.

Ejemplos:

15+ (-15) = 0                                   1/4(4)=1

Propiedad:   Distributiva

Operación:   Suma respecto a Multiplicación

Definición:   a(b+c) = ab + ac

Que dice:
El factor se distribuye a cada sumando.

Ejemplos:

2(x+8) = 2(x) + 2(8)

Propiedades de las igualdades

Propiedad Reflexiva

Establece que toda cantidad o exprecion es igual a si misma.

Ejemplo:

2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x

Propiedad Simétrica

Consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.

Ejemplo:

Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11
Si a - b = c, entonces c = a - b
Si x = y, entonces y = x

Propiedad Transitiva
Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos miembros también son iguales.