domingo, 28 de octubre de 2012

LENGUAJE COTIDIANO Y LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje algebraico, es la traducción del lenguaje cotidiano, en expresiones q contienen letras (incógnitas ó variables) y sirven para resolver algún problema matemático a través de una ecuación.

Ejemplo
1. el doble de un número más cinco equivale a 30
....2x + 5 = 30
2. un medio mas un tercio de un número es igual a13
....1/2x + 1/3x = 13
3. el cuadrdo de la suma de un número y 7 es 64
... ( x + 7 )² = 64
4. el cuadrdo de un número más 7 es 64
... ( x )² + 7 = 64
5. la diferencia al cuadrado de una cantidad y 9 más 4 equivale a 21
--- ( x - 9)² + 4 = 21
6. la suma de un tercio con el cuadrado de un número es 54
.....1/3 + x ² = 54
7. la suma de un tercio de un número con su cuadrado, dará 33
..... 1/3x + x ² = 33
8. un número se le suma 15, se divide entre 3 da 13
.. (x+15)/3 = 13
9. el cubo de un número mas su séptimo es 31
..... x³ + x/7 = 31


SIGNOS DE AGRUPACION

Los signos de agrupación son:
  • el paréntesis ordinario ( )
  • el corchete [ ]
  • las llaves { }
  • la barra o vínculo.
Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse de primero. Así, (A+ B) e indica que el resultado de la suma de a + b debe multiplicarse por m; {a + b} ÷ {c- d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.

ORDEN DE UN POLINOMIO

Los polinomios se ordenan escribiendo los exponentes en orden descendente, es decir, de mayor a menor. También se pueden ordenar los polinomios en orden ascendente, es decir, de menor a mayor. Por ejemplo, el polinomio 2x - 3 + 5x2 no tiene orden. Al expresarlo en los dos tipos de orden mencionados anteriormente tenemos:
Polinomio Orden descendente.
5x2 + 2x - 3

Polinomio Orden ascendente.
-3 + 2x + 5x2
Los polinomios se ordenan escribiendo los exponentes en orden
v descendente, es decir, de mayor a menor
v ascendente, es decir, de menor a mayor.

Polinomio
Orden
3x2–5x + 8
Descendente

8 –5x + 3x2
ascendente


PADRE DEL ALGEBRA

Diofanto de Alejandría
nacido alrededor del 200/214 y fallecido alrededor de 284/298 fue un antiguo matemático griego. Es considerado "el padre del álgebra".
Nacido en Alejandría, nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega.
Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.
donde x es la edad que vivió Diofanto
Según esto, Diofanto falleció a la edad de 84 años. Se ignora, sin embargo en qué siglo vivió. Si es el mismo astrónomo Diofanto que comentó Hipatia (fallecida en 415), habría fallecido antes del siglo V, pero si se trata de personas distintas cabe pensar que vivía a finales de dicho siglo, ya que ni Proclo ni Papo le citan, lo que resulta difícil de entender tratándose de un matemático que pasa por ser el inventor del álgebra. En opinión de Albufaraga, Diofanto vivía en los tiempos del emperador Juliano, hacia 365, fecha que aceptan los historiadores.

REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES

REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES
En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.
Por ejemplo:
6 a2b3 es término semejante con – 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a2b3)
1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz)
0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, están al revés.
Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.
Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.
Recordando cómo se suman los números enteros:
Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual signo y números con signo distinto.
Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo.
      Ej  :         – 3   +   – 8  =   – 11      ( sumo y conservo el signo)
                      12   +   25  =   37       ( sumo y conservo el signo)
        Ej  :   – 7   +   12   =   5    (tener 12 es lo mismo que tener  +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12  -  7  =   5

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto
                    5   +   – 51   =   – 46    ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)
                   – 14  +   34   =    20


CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1)Por el número de términos:
Monomios: un término→P(x)= x²
Binomios:dos términos → P(x)= x+4
Trinomios:tres términos→ P(x)= x²-2x+1
Cuatrinomios: cuatro términos → P(x) =2ax2+3bx+4xy+13


http://ciencias.bc.inter.edu/ntoro/polin…

Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radical:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id31.…

2)Por el grado:
El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra (literal).
a.Grado absoluto.- El grado absoluto de un polinomio es el grado de término de mayor grado, por ejemplo, x5-2x3y+4, el primer término es de quinto grado y el segundo de tercer grado; por lo tanto el polinomio es de quinto grado.
b.Grado relativo.-es con relación a una letra.- El grado de un polinomio con respecto a una letra es el mayor exponente de esa letra o literal, por ejemplo, 4x4+x3+y5; si buscamos el grado con respecto a la letra x, el pol inomio será de grado cuatro; de igual forma el grado del polinomio con respecto a la letra y será de quinto grado.

Clasificación por grado absoluto
Pueden ser de cero, primero, segundo, tercero, etc. .... según el grado del término de mayor grado
Polinomio de 0 grado: se les llama funciones constantes (excluyendo el polinomio cero, que tiene grado indeterminado),ej:
P(x)= 4

Polinomio de primer grado: se escriben de la forma: P(x) = ax + b, donde a y b son constantes.Son funciones lineales.

Polinomio de segundo grado: son de la forma: P(x) = ax² + bx + c, Ejemplo: P(x) = x² – 3x + 6, P(x) = x² + 3x. Son funciones cuadráticas.
Polinomios de tercer grado: Son funciones cúbicas

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Hay distintos tipos de expresiones algebraicas.
  1. Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios (varios sumandos).
  2. Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos), ...
  3. Dos expresiones algebraicas separadas por un signo =\;\! se llama ecuación.
  4. Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes.
 TERMINO ALGEBRAICO

Término algebraico
 

El signo indica si el término es positivo o negativo.
El coeficiente es la parte numérica del término.
La parte literal es la variable del término.
Los exponentes indican el grado del término.


PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

1)Propiedad Conmutativa: a+b = b+a Sean a,b pertenecientes a los reales.
2)Propiedad Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) Sean a,b,c pertenecientes a los reales.
3)Existencia de elemento inverso(inverso aditivo): a+(-a)=0
4)Existencia de elemento neutro: a+0 =a
5)Propiedad Conmutativa del producto: a.b=b.a
6)Propiedad Asociativa del producto: ( a.b).c= a.(b.c)
7)Existencia de elemento inverso: a.1/a = 1
8)Existencia de elemento neutro(del producto) : a.1 = a
9)Propiedad Distributiva: (a+b).c = ac+bc (a.b)+c=(a+c).(b+c)
10)Tricotomia : a>b , a<b o a=b
11)Monotonia de la suma
12 Monotonia del producto.
13) Propiedad Transitiva a>b>c entonces a>c
14) Propiedad Uniforme.
Se dice que los números reales son aquellos números Complejos cuya componente imaginaria es cero.
El conjunto de los números reales es un Campo o Cuerpo pues es un anillo conmutativo.Ademas cumple con la Ley de Cierre o Clausura.

CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Y PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES.

CLASIFICACION DE LOS NUMEROS

Números Naturales N
Los primeros números se usaron para contar cosas, son los números naturales (se representan por N). La cantidad de números naturales es infinita.
Ν = {1, 2, 3, ....}

Números Enteros Z
El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama conjunto de números enteros. Ζ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}

Números reales R

Se representan con la letra R

Es el conjunto formado por los números racionales Q, y los irracionales I.

 

 

Racional Q
Todo número que se pueda poner en forma de fracción se dice que es un número racional.
Un numero racional es una fracción y todos sus equivalentes
Se representan por la letra Q

Por ejemplo, si cortamos una tarta en 4 trozos iguales y nos tomamos tres trozos de la tarta nos hemos comido 3/4 de la tarta

Son números racionales 1/2, 3/4, 11/5, 2535/3, ...

Se pueden clasificar en dos grupos:
-Decimales Limitados: son los que en su representación decimal tienen un número fijo de números. Por ejemplo: 1/4 = 0,25
-Decimales Ilimitados: son los que en su representación decimal tienen un número ilimitado de números.
-Periódicos puros: Un número, o grupo de números, se repite ilimitadamente, desde el primer decimal. (por ejemplo: 3,838383...)
-Periódicos mixtos: un número o grupo de números se repite ilimitadamente a partir del segundo o posterior decimal (por ejemplo 3,27838383...).

-Irracional I (si no se puede representar mediante una fracción). Son los decimales ilimitados no periódicos Ejemplos de números reales irracionales, la raíz cuadrada de 2, 3, 5.
Se representan mediante la letra I.
-Irracionales Algebraicos (los que se pueden obtener como solución de una ecuación algebraica)
-Trascendentes (los que no se obtienen como solución de una ecuación algebraica). Por ejemplo 2 se puede obtener como solución de la ecuación 2x = 4 y raíz cuadrada de 2 se pueden obtener de la ecuación x2 = 2.
-Numero e , Número p (relación entre longitud de circunferencia u su diámetro) nunca son solución de ecuaciones algebraica. 

Números Complejos C
Un número complejo es una expresión de la forma z=a+bi. A 'b' se le llama parte imaginaria y 'a' recibe el nombre de parte real. La letra i se llama unidad imaginaria y verifica que i2=-1. También puede definirse como el par ordenado (a,b).

Se representan con la letra C

Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar como puntos de una recta (la recta de los números reales). Los números complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los números complejos). En ese plano podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos del plano.

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero a se denomina la parte real y al segundo b la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (a,b), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de a+bi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno.
La clase Complejo constará de dos miembros dato, la parte real real, y la parte imaginaria
C={(a,b)=a+bi, a,b R}.


Propiedades de los números reales
Propiedad:   Conmutativa

Operación:   Suma y Resta

Definición:   a+b = b+a

Que dice:
El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

Ejemplo:

2+8 = 8+2                   5(-3) = ( -3)5

Propiedad:   Asociativa

Operación:   Suma y Multiplicación

Definición:   a+(b+c)=(a+b)+c------ a(bc) = (ab)c

Que dice:
Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

Ejemplo:

7+(6+1)=(7+6)+1                     -2(4x7)= (-2x4)7

Propiedad:   Identidad

Operación:   Suma y Multiplicación

Definición:   a + 0 = a------ a x 1= a
Que dice:                                                                                             Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

Ejemplo:

-11 + 0 = -11                           17 x 1 = 17

Propiedad:   Inversos

Operación:   Suma y Multiplicación

Definición:   a + ( -a) = 0------(a)1/a=1

Que dice:
La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.

Ejemplos:

15+ (-15) = 0                                   1/4(4)=1

Propiedad:   Distributiva

Operación:   Suma respecto a Multiplicación

Definición:   a(b+c) = ab + ac

Que dice:
El factor se distribuye a cada sumando.

Ejemplos:

2(x+8) = 2(x) + 2(8)

Propiedades de las igualdades

Propiedad Reflexiva

Establece que toda cantidad o exprecion es igual a si misma.

Ejemplo:

2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x

Propiedad Simétrica

Consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.

Ejemplo:

Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11
Si a - b = c, entonces c = a - b
Si x = y, entonces y = x

Propiedad Transitiva
Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos miembros también son iguales.

EL ALGEBRA Y SU HISTORIA

                                                 ¿Que es el algebra?

El algebra es una rama de las matematicas que se ocupa de estudiar las propiedades generales de las operaciones aritmeticas y lo números para generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos analogos. esta rama se caracteriza por hacer implicitas las incognitas dentro de la misma operación; ecuación algebraica.
Etimologicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala )??? (yebr) ( al-dejaber ), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).
Historia del álgebra
El álgebra tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el teorema de pitagoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofante. Arquímedes se basó en las matemáticas en su tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofante fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento, como principales trabajos tenemos al análisis diofántico y la obra de Las Aritméticas, que recopila todo el conocimiento del álgebra hasta ese entonces.
Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los grupos matemáticos y sus extensiones,y parte de lageometría, la rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas elipse, parábola, hiperbola,círculo, ahora incluidas en el álgebra bilineal.
El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de las matemticas como la lógica ( álgebra de Boole), el análisis y la topología.